Любимый учитель Эйнштейна

Крупные научные открытия в математике происходят не так уж часто. И евреев среди великих математиков XIX–XX вв. не много. А самыми знаменитыми стали Георг Кантор – автор теории множеств – и Герман Минковский – создатель геометрической теории чисел и четырехмерной геометрической модели теории относительности. Идеи Минковского существенно помогли Эйнштейну в разработке общей теории относительности. В системе категорий математики целый ряд понятий тесно связан с именем Германа Минковского: два вида пространства Минковского, четыре теоремы Минковского, гипотеза, диаграмма, кривая и задача Минковского, неравенство, размерность, расстояние, дополнение, сумма, функция и функционал Минковского. Пожалуй, этого достаточно для того, чтобы увековечить в истории математики заслуги ученого, идеи которого до сих пор формируют эту науку. А ведь он внес еще и важный вклад в гидродинамику и теорию капиллярности, высказал гипотезы о силовых действиях света в прозрачной среде.

 

Потомок раввинов и купцов

Гениальность мыслителя в значительной степени обусловлена выдающейся родословной. Его прапрадед Борух бен Яаков Шкловер – еврейский ученый-энциклопедист из Шклова – получил звание раввина в Бресте, стал даяном (религиозным судьей) в Минске, изучал медицину в Англии, опубликовал в Праге на иврите трактат по тригонометрии, имел труды по астрономии, анатомии и гигиене, перевел на иврит Евклида, а последние годы жизни провел в Слуцке, где служил даяном и придворным врачом князя Радзивилла.

Прадед математика Ицхок бен Аарон был раввином и комментатором Талмуда в Карлине под Пинском, при Николае I принял фамилию Минковский.

Его дед, Борух Якоб Минковский, стал купцом первой гильдии в Вильне. А отец, Левин Борухович Минковский тоже был купцом, женился на Рахили Исааковне Таубман родом из Шакинова (Шауляй), и затем они переехали в Ковно (ныне Каунас).

В Алексотах, пригороде Ковно (Королевство Польское, Российская империя) у них 22 июня 1864 г. родился сын Герман (Шмуэль), у которого были старшие братья – Макс (позже успешный торговец зерном, французский консул в Кёнигсберге, основатель там Музея искусств), Оскар (впоследствии ученый-медик) и младший Тувья (рано умер), а также сестра Фанни (бежала из нацистской Германии в Калифорнию). Их отец субсидировал строительство хоральной синагоги в Ковно, а по егo завершении, спасаясь от антисемитских гонений, переехал в 1872-м с семьей в Кёнигсберг, получил прусское подданство, занялся экспортом ковров и затем основал с Максом фирму по производству и продаже оловянных игрушек с механическими часовыми механизмами. Этот бизнес требовал знания математики и механики, поэтому Минковский-старший поощрял обучение собственных детей точным наукам.

Весной 1881 г. Парижская академия предложила в качестве призовой темы задачу о представлении натуральных целых чисел в виде суммы пяти квадратов. 17-летний студент с энтузиазмом взялся за нее под девизом: «Нет ничего прекраснее правды, только она достойна любви». Он настолько погрузился в доказательство гипотезы, что разработал на ее основе принципы, которые вышли далеко за рамки темы. Блестяще решив задачу, создал общую теорию квадратичных форм в пространстве произвольного числа переменных. И хотя, вопреки уставу Академии, его решение было написано на немецком языке, жюри восторженно признало это исключительным случаем и 2 апреля 1883 г. присудило Герману Гран-при. Это было ошеломляющее начало математической карьеры юного Минковского. Когда в Париже стало известно о присуждении ему премии Академии, местная шовинистическая пресса направила против него самые необоснованные нападки, но французские академики решительно встали на сторону талантливого студента.

 

Отец геометрии чисел

В 1885 г. Герман Минковский получил в Кёнигсберге докторскую степень за диссертацию «Исследования квадратичных форм, определение числа различных форм, содержащихся в данном роде». Его работа, ставшая развитием призовой темы, вызвала большой интерес у математиков. И молодой ученый был приглашен преподавать сразу в двух университетах – Кёнигсбергском и Боннском, где стал сначала приват-доцентом, затем экстраординарным и ординарным профессором. Здесь состоялась его встреча с Генрихом Герцем, который убеждал Минковского заняться физикой. Еще через год ему предложили заведование кафедрой математики в Цюрихском университете, где пересеклись пути его и студента Альберта Эйнштейна.

Будущего гения преподаватели недолюбливали за то, что он вел неподобающий студенту образ жизни, интересуясь только физикой, а один из них даже требовал объявить ленивому студенту выговор. Эйнштейн не понимал тогда, что успехи в физике во многом зависят и от сложных математических вычислений. Вспоминая об учебе в Цюрихе, он признавал: «В студенческие годы я плохо понимал, что куда более основательное понимание базовых принципов физики напрямую связано с самыми изощренными методами в математике». Ему на помощь пришел Минковский, который увидел в студенте выдающиеся способности и сделал очень многое для того, чтобы Эйнштейн начал посещать занятия по математике. Герман Минковский преподавал алгебру и геометрию, и ему стоило немалых трудов завлечь одаренного студента в свою аудиторию. Учитель и ученик подружились, часто общались на научные темы, обсуждая различные гипотезы. Педагог неизменно публично хвалил студента, умалчивая о его своеобразном поведении.

Первоначально научные интересы Минковского были связаны с чистой математикой, и он провел большую часть времени, исследуя цепные дроби и квадратичные формы (функцию на векторном пространстве, задаваемую однородным многочленом второй степени от координат вектора). В 1896 г. он публикует монографию «Геометрия чисел», в которой собрал все свои достижения в этой области, сформулировав принцип соединения мира алгебры чисел с миром геометрии. Он представил лемму, известную как «Теорема Минковского о выпуклом теле». Вся геометрия чисел основана на этой теореме.

Минковский впервые развил геометрический подход к решению трудных проблем теории чисел. Книга содержит множество других аспектов, имеющих последствия, например, в теории числовых полей, в приближении алгебраических чисел непрерывными дробями или в отношении проблемы плотнейшей упаковки сфер. Это «новый вид применения анализа бесконечности к теории чисел или, лучше сказать, это создает связь между данными двумя областями», – характеризовал работу сам Минковский в своем предисловии. А математик Шарль Эрмит был так воодушевлен идеями книги, что воскликнул: «Я думаю, что вижу землю обетованную!.. Минковский элегантно балансировал между алгеброй, геометрией, теорией чисел и анализом».

В 1898-м Герман женился на Августине Адлер из семьи страсбургского предпринимателя. У них родились две дочери – Лили и Рут (обе позже эмигрировали в США, где их мужья стали профессорами). В 1897-м в Цюрихе состоялся Первый международный математический конгресс (ICM). Минковский вошел в оргкомитет как один из его секретарей, а в 1905-м выступил в Париже на ICM с докладом, развивая идею многомерных решеток. В 1907-м он издал обширное «Введение в теорию чисел», которое в общих чертах обрисовало применение в алгебре геометрических понятий и методов. Он первый поставил себе целью разработать теорию чисел геометрическими методами. Центральную роль сыграла его лемма о точке решетки, с помощью которой Минковский доказал важные теоремы алгебраической теории чисел. Он исследовал взаимоотношения между выпуклыми множествами и целочисленными решетками в многомерном пространстве. В 1907-м вышла еще одна его монография – «Диофантовы приближения» (раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными; назван именем Диофанта Александрийского).

Герман Минковский создал новую область математики – арифметическую и алгебраическую геометрию. Он много и плодотворно работал над применением полученных результатов в теории многогранников, геометрии выпуклых тел и др. В работе Минковского 1905 г. показано, что способ приведения положительных квадратичных форм ведет к области приведения, имеющей вид выпуклой пирамиды с ограниченным числом граней. Таким образом, Минковский стал создателем новой области математики, соединяющей изящество геометрии с глубиной теории чисел. С тех пор прерывное в природе изучается тремя основными методами математики: арифметическим – в элементарной теории чисел, аналитическим – в аналитической теории чисел, геометрическим – в созданной Минковским геометрической теории чисел. Многие трудные вопросы этой теории приобрели у Минковского при помощи его метода необыкновенную прозрачность, естественность и изящество. В области чистой геометрии ему принадлежат фундаментальные теории общих свойств многогранников и геометрии выпуклых тел.

Герман Минковский внес большой вклад в развитие математической науки в целом. В частности, он сумел упростить теорию единиц полей алгебраических чисел, а также развил теорию аппроксимации иррациональных чисел рациональными, теорию диофантовых приближений, под которыми в данном случае понимается раздел теории чисел, изучающий приближения действительных чисел рациональными, и вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств с действительными коэффициентами. Его, безусловно, можно считать основоположником актуальной сегодня арифметической и алгебраической геометрии.

Шедевром Минковского является его основополагающая книга «Геометрия чисел». «Я преисполнен удивления и восхищения перед Вашими принципами и результатами, они открывают передо мной как бы совсем новый арифметический мир, в нем основные вопросы нашей науки рассматриваются с блестящим успехом, который должны будут признать все математики», – писал Минковскому Шарль Эрмит. Осуществленная Минковским геометризация теории чисел определила новое направление математических исследований, связанное с гёттингенской математической школой, создателем которой Минковский стал наряду с Гилбертом.

 

Пространство и время Минковского

Семья Минковского покинула Цюрих в 1902-м, когда родилась их вторая дочь. Профессор занял кафедру математики в Гёттингене и семь лет до конца жизни работал там вместе с другом Давидом Гилбертом. Он увлекся математической физикой, вызвав энтузиазм у коллег. Участвовал в семинаре по теории недавно открытых электронов в 1905 г. и ознакомился с последними результатами и теориями электродинамики. Он был одним из тех ученых, которые на рубеже XIX и XX вв. первыми почувствовали, что классическая физика исчерпала свои возможности для объяснения накопившихся экспериментальных данных. Из них следовало, что при скоростях, близких к скорости света, законы механики Ньютона не соблюдаются и в обычную для физики трехмерную систему координат надо добавить четвертую координату – время. Именно Минковский обосновал формальное математическое равенство трех пространственных координат с временной переменной.

В начале ХХ в. Минковский и Эйнштейн параллельно начали работать над проблемой пространства и времени, вскоре ставшей основой теории относительности. Эйнштейн в чем-то оказался немного впереди учителя. Первые результаты своей работы он опубликовал в 1905 г. А Минковский в 1907–1909-х гг. выступил с рядом статей и лекций, в которых предложил «геометродинамику» – математическую модель кинематики теории относительности, введя экспериментальную модель реального аффинного (допускающего понятие прямых и их параллельности) четырехмерного псевдоевклидового пространства, известного сейчас как пространство Минковского. В этой модели время и пространство представляют собой не различные сущности, а взаимосвязанные измерения единого пространства-времени. Все релятивистские эффекты получили у Минковского наглядное геометрическое истолкование. Еще в 1907 г. он увидел, что это пространство представляет собой (и не только традиционную) модель пространства-времени, где пространство и время связаны законами механики, и в нем, среди прочего, развиваются условия причинности и одновременности согласно системе отсчета наблюдателя. Новая картина мироздания, основные черты которой первым увидел Герман Минковский, установила инвариантность пространственно-временных и динамических характеристик мироздания, делая это на более глубоком уровне, чем в классической картине мира.

Геометрия мира Минковского развила представление о псевдоевклидовом пространстве на основе понятия абстрактного линейного пространства и его разновидности – евклидова пространства, умения различать линейные и метрические свойства пространства. Эти понятия стали исходными для построения новой геометрической теории. Без достаточно свободного владения ими и связанным с ними алгебраическим аппаратом нельзя было преодолеть привязанность к привычной наглядности образов и проникнуть в мир форм, скрытых от непосредственного зрительного восприятия. Минковский первым стал внедрять геометрию чисел практически во все области математики, что позволило ему создать новые методы математических исследований. Многие трудные вопросы, над которыми ученые работали на протяжении десятков лет, приобрели ясность и получили свое разрешение благодаря методам Минковского.

В 1908-м Герман Минковский прочитал сенсационную лекцию «Пространство и время» на заседании Общества немецких естествоиспытателей. Он метался у доски, заполняя ее формулами, его волосы взъерошились, роскошные усы торчали вверх. «Взгляды на пространство и время, которые я хотел бы развить, выросли из экспериментальной физической почвы, – сказал он. – В этом их сила, их тенденция радикальна. Отныне пространство для себя и время для себя должны полностью уйти в тень, и только некий союз между ними должен сохранять их независимость. Абсолютная справедливость мирового постулата есть настоящее ядро электромагнитной картины мира».

В той же лекции Минковский впервые заговорил о четырехмерном пространстве-времени – теории, которая прославила его и способствовала развитию общей теории относительности Эйнштейна. «Никто еще не наблюдал, – говорил ученый, – какого-либо места иначе, чем в некоторый момент времени, и какое-нибудь время иначе, чем в некотором месте». Он предложил назвать некую точку пространства, соответствующую определенному моменту времени, мировой точкой. Мир в этом случае – совокупность всех существующих мировых точек. Любое тело, какой-то период существующее или существовавшее в пространстве, будет иметь мировую линию – некую кривую, отражающую его движение в четырехмерном пространстве. «Весь мир представляется разложенным на такие мировые линии, и физические законы могли бы найти свое наисовершеннейшее выражение как взаимоотношения между этими мировыми линиями». Для того чтобы работать с новой моделью пространства, Минковский к обычным трем осям координат, обозначающим ширину, глубину и высоту, добавил четвертую величину – время, которое он обозначил традиционной для физики буквой t. В формуле, описывающей местоположение тела в новой системе координат, присутствовал еще одни член, с – скорость света.

А в 1909-м вышел его фундаментальный труд «Пространство и время», оказавший существенное влияние на формирование теории относительности. В свою очередь Эйнштейн, первоначально выступавший против геометрического подхода Минковского, позже использовал его идеи пространственно-временного континуума в своей общей теории относительности. Он признал, что Герман Минковский впервые объяснил пространство-время и создал его геометрическую модель, исключительно высоко оценив вклад математика в развитие релятивистской теории. Минковский же в дальнейшем говорил, что «первым был Эйнштейн», и сделал все возможное для популяризации его теории. К тому времени он понял, что работы по физике Альберта Эйнштейна и Хендрика Лоренца лучше всего можно понять в неевклидовом пространстве. Минковский пришел к выводу, что пространство и время, которые раньше считались независимыми, связаны друг с другом в четырехмерном «пространственно-временном континууме». Он разработал новый взгляд на пространство и время, заложив математические основы теории относительности – четырехмерную трактовку электродинамики.

В последние годы жизни Герман Минковский активно занимался электродинамикой движущихся сред на основе электронной теории и постулата относительности. В фундаментальной работе «Основы теории электромагнитных процессов в движущихся телах» (1908) мировой постулат применяется для установления уравнений электромагнитного поля любой движущейся материи. Полученные им уравнения, названные позже «уравнениями Минковского», согласуются с экспериментальными фактами. Проявляя особый интерес к проблемам теоретической физики, Минковский написал энциклопедическую статью о математическом моделировании капиллярности. Чтобы проиллюстрировать это, разработал диаграмму, на которой пространственные координаты представлены только одной осью. С помощью этого упрощения можно понять кажущиеся парадоксальными такие явления, как замедление времени или сокращение длины. С помощью трехмерного представления двой­ного светового конуса Минковский объяснил, что означают прошлое и будущее с точки зрения наблюдателя. Значительный вклад он внес также в топологию, гидродинамику и высказал некоторые гипотезы о силовых действиях света в прозрачной среде.

Вскоре после публикации доклада Германа Минковского в Кёльне, в начале 1909-го, у него произошло обострение аппендицита. Операция не спасла его, и 12 января ученый скончался в Гёттингене в возрасте 44 лет. Урна с прахом Минковского изначально была погребена там же. Однако в 2008-м после смерти его брата Оскара, видного хирурга, урну перезахоронили рядом с могилой брата на еврейском кладбище на Хеерштрассе в Берлине. В своем некрологе Давид Гилберт сказал: «Внезапная смерть оторвала его от нас. Но чего смерть не может у нас отнять, так это его благородный образ в наших сердцах и сознание того, что его дух продолжает действовать в каждом из нас». Под редакцией Гилберта в 1911 г. издано полное собрание трактатов Минковского в 2-х томах. На доме в Гёттингене, где он жил в 1902–1909 гг., установлена мемориальная доска, его имя носит одна из улиц города. В память о выдающемся математике его именем названы лунный кратер и астероид 12493.

 

Давид ШИМАНОВСКИЙ