«Сущность математики – в ее свободе»

Евреи – творцы монотеизма, талмудизма и Каббалы – обладали повышенной способностью к отвлеченному мышлению и особенно – к математике. А занятия ремеслом, торговлей и финансами издревле содействовали развитию у них склонностей к расчетам. В эпоху Талмуда были известны крупные еврейские ученые-математики Машаллах ибн Атари ал-Баср, Герсонид, Педру Нуниш и Иосиф Дельмедиго. А Новое время дало миру таких мыслителей, как Джемс Сильвестр, Леопольд Кронекер, Герман Минковский, Фердинанд Эйзенштейн, Рудольф Липшиц, Рихард Курант, Луиджи Кремона, Гвидо Фубини, Жак Адамар, Поль Леви, Туллио Леви-Чивита, Эдмунд Ландау, Пал Кедеш, Норберт Винер, Джон фон Нейман, Израиль Гельфанд и др. В этом созвездии выделяется гений математической науки Георг Кантор – основоположник современной теории множеств и проблем бесконечности.

Он родился 3 марта 1845 г. в Санкт-Петербурге в семье подданного Дании Георга Вольдемара Кантора, купца и биржевого маклера. Отец происходил из сефардов, в юности был привезен из Копенгагена в Россию, где жили его родственники, и крещен там как лютеранин. Мария Анна Кантор, мать Георга, была родом из семьи Бем, известных австрийских музыкантов-евреев.

Георг был старшим из шести детей. Он играл на скрипке, унаследовав от родителей музыкальные способности. Отец писал о пятилетнем сыне: «Он одарен от природы стремлением к порядку, преобладающим надо всем остальным». Дети воспитывались в немецкой культурной среде. Набожный отец приобщал их к религии, был внимательным к ним и проявлял особый интерес к воспитанию старшего сына. Георг вспоминал: «В сущности, у меня весьма художественная натура, и, к сожалению, мой отец никогда не позволял мне сделаться „скрипачом“, в чем я наверняка был бы счастлив». Он учился в немецкой Петришуле, где многие преподаватели имели университетское образование, и тепло вспоминал детские годы. В 1856-м из-за туберкулеза отца семья переехала в курортный Висбаден, а позже во Франкфурт-на-Майне.

В 1860 г. Георг с отличием окончил Дармштадтское реальное училище, поступил в Высшее торговое училище и готовился стать инженером. Но в 1862 г. ему удалось убедить отца, что его больше влечет к математике, которую он и стал изучать в Политехническом институте Цюриха.

Год спустя отец умер, Георг получил наследство и перевелся в Берлинский университет им. Гумбольд­та, где посещал лекции знаменитых математиков, физиков и философов. В 1867-м он получил там степень доктора философии за работу «О неопределенных уравнениях второй степени» с подзаголовком на латыни: «В математике искусство задавать вопросы более ценно, чем решение задач», посвященную проблеме, которую не смог решить Гаусс.

Некоторое время Кантор работал в женской гимназии в Берлине и посещал семинар для учителей математики. Прежде чем переехать в провинциальный Галле, он советовался с сестрой: «Чем больше я смотрю на свою математику, тем больше я вижу, что она для моего сердца и ума ведет меня к счастью и удаче. Эта работа была и будет для меня подлинным смыслом моей жизни и желания, наполненным физическим ощущением, и чувством удовлетворения, в ней я чувствую, что свободен в своей деятельности и в отношении приносимой пользы обществу, этой приятной возможности. Полагаю, что в Галле меня ожидает настоящее целостное поле деятельности, соответствующее моей работе; возможно, там я получу признание и мои стремления найдут применение».

Два года спустя Кантор занял в Университете Галле должность сперва ассистента, затем приват-доцента, в 1872-м стал адъюнкт-профессором, а в 1879-м – профессором математики. Там он дружил с Эдмундом Гуссерлем, основоположником феноменологии. А коллега Эдуард Гейне побудил его заняться сложной темой единственности тригонометрических рядов Фурье, с которой не смог справиться Риман. В 27 лет Кантор опубликовал статью, содержавшую общее решение этой проблемы. В ней он реализовал идеи, выросшие впоследствии в теорию бесконечных множеств. К тому времени его работы уже получили известность. В них он доказал, что рациональные, вещественные и относительные числа исчисляемы и могут приходить в соответствие с натуральными числами, а затем – и то, что бесконечное множество действительных четных чисел, представленное континуумом точек на прямой, больше бесконечного множества всех рациональных чисел и что для каждого натурального числа существует ровно одно рациональное число. Ему удалось опровергнуть вывод о невозможности подсчета реальных чисел и доказать, что почти все числа трансцендентны и можно определить бесконечные величины. Кантор разделил бесконечное на трансфинитное, которое возрастает в величине, и абсолютное, которое не увеличивается.

В 1874 г. Георг женился на подруге своей сестры Валли Гутман, с которой вырастил двух сыновей и четырех дочерей. Медовый месяц он провел в горах Гарца, ведя математические дискуссии с другом Ричардом Дедекиндом, с которым познакомился ранее во время отпуска в Швейцарии. В том же году он продолжил свои публикации по теории множеств «Об одном свойстве ансамбля всех действительных алгебраических чисел». Его заинтересовал вопрос, можно ли установить взаимно однозначное соответствие между единичным квадратом и отрезком единичной длины. В 1877 г. он размышлял о геометрических приложениях теории множеств и доказал, что существует взаимно однозначное соответствие точек числового интервала (0,1) и точек р-мерного пространства. Он сам был удивлен своему открытию: «Вижу, но не верю!» Этот факт имел последствия в геометрии и теории размерности пространств. Кантор первым сформулировал то, что позже стало известно как континуум-гипотеза: не существует множества, мощность которого больше мощности натуральных чисел и меньше мощности вещественных чисел. Разработка понятия о множествах привела Кантора к учению о потенциальной и актуальной бесконечности.

Он отправил статьи в «Журнал чистой и прикладной математики» – одно из крупнейших научных изданий, но публикация была задержана его бывшим учителем Леопольдом Кронекером, который скептически относился к понятию бесконечности и стал влиятельным противником его теории множеств. Только вмешательство Дедекинда привело к ее опубликованию. Труд о размерности сделал концепцию взаимно однозначного соответствия общепринятой.

С 1879-го ученый интенсивно развивал революционные идеи по теории множеств и за пять лет опубликовал серию статей «О бесконечных линейных точечных многообразиях». В них он установил основные принципы и теоремы теории множеств, продолжал работу по теории чисел и математическому анализу. Одна их статья была также опубликована как монография, поскольку Кантор понимал, что развитая им теория еще не получила широкого признания среди математиков. А некоторые христианские богословы рассматривали его работу как вызов уникальности абсолютной бесконечности в природе Бога. Известно знаменитое высказывание Г. Кантора: «Сущность математики – в ее свободе».

Постоянное сопротивление оппонентов его идеям негативно повлияло на душевное состояние Кантора, вызывая у него депрессию, и привело к тому, что он почти на десять лет оставил математику и занялся литературно-историческими, философскими и теологическими темами. Проблемы философии и богословия были важны для него и связывались им с теоретико-множественными проблемами бесконечности. Он стремился, чтобы его философия давала «органическое объяснение» природы, которое может быть получено только при использовании систем Спинозы и Лейбница. С 1884 г. Георг неоднократно страдал маниакально-депрессивным расстройством и вынужден был пройти психиатрическое лечение.

Кантор получил множество наград за свои математические открытия. Он стал членом Германской академии наук «Леопольдина», был награжден медалью им. Сильвестра Королевского общества за изыскания в математике. А в 1890 г. принял деятельное участие в основании Германского математического общества и был избран его первым президентом. Но только в 1895 г. он возобновил свою работу над теорией множеств, рассматривал гипотезу континуума. В 1902-м бы завершен его главный труд «Основы общего учения о многообразиях». Последней работой ученого стала статья «К обоснованию учения о трансфинитных множествах». К этому времени он обнаружил в теории множеств один из парадоксов и написал об этом Давиду Гильберту, признанному мировым лидером математиков, который описал его работу как «самое прекрасное произведение математического гения и одно из высших достижений вполне интеллектуальной человеческой деятельности».

Кантор стал инициатором созыва Международного конгресса математиков в Цюрихе в 1897 г. На конгрессе его работы были поддержаны многими выдающимися учеными. Именно на этом конгрессе Гильберт произнес свою знаменитую фразу: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором».

В 1911 г. Кантор был приглашен на празднование 500-летия Сент-Эндрюсского университета в Шотландии. Год спустя тот же университет хотел присвоить ему звание почетного доктора, но Кантор не смог приехать из-за болезни. В 1913 г. он вышел на пенсию. Во время мировой войны страдал от бедности, публичное празднование его 70-летия было отменено. 6 января 1918 г. Георг Кантор скончался от сердечной недостаточности в санатории, где провел последний год жизни, и был похоронен в Галле.

Именем Кантора назван ряд теорем, функций, само понятие множества. В 1970 г. в его честь был назван кратер на обратной стороне Луны, а в 2000-м – астероид. В 1990-м Германское математическое общество учредило медаль им. Георга Кантора за выдающиеся достижения в области математики. В Галле есть гимназия имени Кантора, его именем там названа улица. Опера Грюнауэра «Кантор – Измерение бесконечности» посвящена жизни и творчеству великого математика. На месте рождения Георга Кантора на Васильевском острове в Санкт-Петербурге установлена памятная доска.

 

Давид ШИМАНОВСКИЙ